追本溯源
整合拓展 知法明理
——“2、5、3的倍数的特征”教学思考与实践
【摘要】《荀子·大略》有云：“善学者尽其理，善行者究其难。”大意是：善于学习的人能透辟地认识事物的道理，善于实践的人能把事物中的疑难探究清楚。这是数学学习中最为重要的。因此，教师在实际教学中应引导学生追本溯源，挖掘知识背后的本质，深究知识潜藏的道理，沟通知识间的内在联系，知法明理，帮助学生学会更清晰、更深入、更全面、更合理地思考问题，提升思维能力，发展数学素养。
【关键词】剖析觉悟
整合教学 沟通联系 深入探究
数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，每册教材的编写安排，每个单元的学习内容，每个知识点之间都是环环相扣，紧密结合的。“2、5、3的倍数的特征”就因其前联和后延的关系，在相关的教学内容中处于承上启下的关键位置。它是在学习了因数和倍数概念的基础上进行探究的，也是后续学习公因数、公倍数，以及求最大公因数和最小公倍数的必要基础。3的倍数的特征与2、5的倍数的特征同为一个知识结构，但又与2、5的倍数特征有着明显不同，其本身充满探究价值。教学中如何设计有效数学活动，让探究落到实处，这是一个值得思考的问题。下文将以“2、5、3的倍数的特征”教学实践为例，阐述如何从师生、教材、课堂三方面入手，科学有效地进行教学设计，实施教学活动，提高教学效率。
一、剖析学情，把握教学的侧重点
有效的数学活动应是教师教与学生学的统一，了解学情教情是确定教学起点的重要依据。因此，根据教学内容，结合教学目标，我从教与学两个维度对学生和教师进行了调查访谈与结果剖析。
（一）学之难：只“知其然”不知“其所以然”
根据以往的教学经验，由于2、5的倍数在百数表中呈列状分布，规律较为明显，学生只需通过观察比较，很容易就发现其倍数的特征。而在探究3的倍数的特征时，2、5的倍数特征不仅起不到正迁移的作用，学生还会受思维定势影响，认为判断“一个数是不是3的倍数也只需看个位”，猜测“个位上是3、6、9的数都是3的倍数”，且学生此前也并没有把“各个数位上的数相加”的学习经验，特征的探究往往容易陷入“僵局”。最后，教师不得不近乎直白地提示“把每个数的各个数位上的数字加起来试试看？”结论才千呼万唤始出来。这样的探究，对于思维水平有限，逻辑能力不强，知识储备不够的学生来说，“高度”太高了，无论怎么“跳”都够不到“果子”，学生渐渐就会失去“跳”的欲望。虽然在老师的“帮助”下，最终总结出3的倍数的特征，但学生的数学理解仅仅停留于对数学规律的浅层理解，没有达到对数学知识本质的深度理解，只知其然不知其所以然。
（二）教之困：关注“是什么”忽视“为什么”
虽说学生是教学活动的主体，但学生学什么往往取决于教师教什么。作为课堂教学的组织者和引导者，教师是否能准确把握教学知识的本质，将自身的数学理解与学生的学习需求进行准确对接呢？为了了解一线教师对于这个知识的把握情况，我就“你知道2、5、3的倍数的特征背后的原理是什么吗？你认为教学时有没有必要让学生探究其特征中的奥秘”等问题访谈了本校的多位数学教师。访谈结果发现，由于缺乏数论知识，83%的老师本身就没有研究过其中的奥秘，无法说明其特征原理，更不能把2、5的倍数特征和3的倍数特征从“数的整除”判别方法上统一起来。有两位老师虽在教学时提及过其中的原理，但并未组织学生进行深入探究。教师们认为，常规教学目标中只要求掌握特征，并未提及特征原理，担心深究“为什么”会对学生思维要求过于拔高。由此可见，在这个知识点上，教师们都把着力点放在了引导学生得出结论“是什么”上，而忽略了“为什么”的原理。
二、研读教材，整合教学素材资源
那么，教材中的教学编排是否适合用以引导学生探究2、5、3的倍数的特征原理呢？如何通过整合教学内容及素材资源，凸显其知识的本质，沟通知识间的内在联系，使学生通过探究，“知其然更知其所以然”？
（一）对比教材，重组教学内容
“一千个读者，就有一千个哈姆雷特。”同一个教材内容，不同的教师，可能会有不同的理解。为了更好地解读“2、5、3的倍数的特征”这个内容，我研究并对比了几个不同版本的教材，发现几乎都是以“百数表”作为主要探究素材。各版本都是以在百数表中圈出2、5的倍数，再加以观察比较，总结出2、5的倍数的特征。3的倍数的特征在探索材料上略显不同，主要分为三种，见下图。
（人教版） （冀教版） （苏教版）
第一种是承接2、5的倍数特征的方法，继续在百数表中圈出3的倍数，再进行观察、猜测，验证（如人教版，北师大版）；第二种是略去百数表，直接在数位表上摆小棒或在计数器上拨数，摆（拨）出3的倍数和不是3的倍数，分析小棒（或珠子）的数量与3的关系（如冀教版、西师大版）；第三种则是前两者的结合（如苏教版）。3的倍数在百数表中所处的位置较为分散，不易聚焦，不利于学生观察与比较，如果只是单纯地让学生在百数表中探索3的倍数的特征，受知识和思维特点的限制，学生是很难发现其规律并总结出它的特征的。因此，人教版教材通过插图提示学生“把各个位上的数相加，看看有什么发现”，以帮助学生转变思路，纠正探究方向。然而，这样的探究，有如“牵牛上树”的感觉，往往容易流于形式。那么，怎样才能变“牵引式探究”为“自主探究”呢？我想到了苏教版的计数器。当在百数表探索陷入“僵局”时，适时引入计数器，给学生一个具体形象的载体，通过在计数器上拨数，引导学生观察和思考所拨的数与计数器上珠子的数量的关系，自然而然发现一个数如果是3的倍数，那么拨数时所用的珠子的个数一定是3的倍数，进而总结出3的倍数的特征。显然，把百数表和计数器相结合进行探究，能把抽象的数字与具体的珠子联系起来，数形结合，既顺应学生的思维特点，又降低了探究的高度，靠近学生的就近发展区，学生更容易体验到成功的快乐。
（二）精选素材，凸显知识本质
通过研读教材，我们又可发现，不管是哪种版本的教材，着重点都放在了如何探究2、5、3倍数的特征认识上，而对背后的特征原理却以阅读资料“你知道吗”的形式简单略过。教材对2、5、3倍数的特征原理“避重就轻”，是否因其难度过大，以学生现有的数学思维能力难以达到？其实不然，虽然这当中涉及到数论知识，但其主要特征原理是“数的整除”，也就是判断一个自然数能否被自然数整除，可以把这个自然数分成两个大小不等的自然数的和，若较大的加数能被整除，则只要判别较小的加数能否被整除就可以了。而任何一个非0自然数都可以表示为：
N=an×10n+an-1×10n-1+…+a1×101+a0
=（an×10n-1+an-1×10n-2+…+a1）×10+a0①
=(an×99…9+an-1×99…1+…+a1×9）+（an+an-1+…+a1+a0）②
以上变式①中的（an×10n-1+an-1×10n-2+…+a1）×10一定是10的倍数，因而也一定是2或5的倍数，所以只要第二个加数a0，也就是个位上的数是2或5的倍数，那这个自然数N就一定是2或5的倍数。同理，变式②中第一个加数(an×99…9+an-1×99…1+…+a1×9）一定是9的倍数，也一定是3的倍数，只要an+an-1+…+a1+a0的和是3的倍数，那这个自然数N就是3的倍数，而这里的an，an-1，…，a1，a0恰恰就是这个数各个数位上的数字。整数除法的内容学生可以说是相当熟悉了，只要辅以适当的素材资源进行探究，总结出规律是不难的，既然如此，何不让学生尝试探索其内在原理呢？
虽说2、5、3倍数中的特征原理建立在“数的整除”上，但对于正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段的学生来说，认识抽象的数学原理时，仍需借助具体形象的实物或图片来完成向抽象思维的过渡。上文提及的“你知道吗”中的算式表达式对学生来说过于抽象，难以理解，而百数表虽能用以探究倍数的特征，但与其特征原理并无关联，不利于沟通2、5、3的倍数的特征与特征原理之间的联系，因此两者都不适合作为探究特征原理的素材。既然特征原理与整数除法有关，那么用“分小棒”来帮助理解就再适合不过了。小棒因其可拆组，能灵活表示“1个十”与“10个一”之间的变换。在探究特征原理时，整捆的小棒（也就是整十整百整千…）2根2根地分，或5根5根地分，都没有剩余，因此只要看单根的小棒（也就是个位）分完后有没有剩余，就知道这个数是否是2或5的倍数。如果3根3根的分，则每一捆都会剩余1根，有几捆就余几根（刚好跟每一位上的数字相同），最后把剩余的小棒加起来继续3根3根地分，也就是把各位上的数加起来除以3，没有剩余就说明这个数是3的倍数。通过“分小棒”的方式，巧妙沟通了“数的整除”与特征原理之间的关系，为学生的推理和想象提供了依据和形象支撑，学生理解起来就容易得多了。因此，在总结出2、5、3的倍数特征的基础上，教师应引导学生再往前多走一步，深究出2、5、3的倍数特征背后的原理。
立足课堂，沟通知识间的联系
基于以上的思考，我对2、5、3的倍数特征和原理进行了相应的整合与拓展，并进行了教学实践，取得了不错的效果。
（一）教学过程
1.复习旧知，类推猜想
师：同学们，前面我们研究了2、5的倍数的特征，你能说说2、5的倍数有什么特征吗？我们是用什么方法找出2、5的倍数的特征的呢？
（引导学生回顾2、5的倍数的特征及其探究方法，为下面继续研究3的倍数的特征打下铺垫）
师：今天我们继续研究3的倍数的特征。猜猜3的倍数会有什么特征呢？
（根据2、5倍数的特征的迁移，学生必定会猜测“个位上是3、6、9的数就是3的倍数）
2.圈数对照，否定猜想
师：同学们的猜想很有道理，是否正确呢？找一些3的倍数来验证一下就知道了。（引导学生在百数表中圈3的倍数）
师：请大家观察这些3的倍数，猜想对了吗？
（引导学生观察发现，3的倍数个位上的数0—9都有，从个位上和十位看都没有规律）
师：从个位或十位都看不出3的倍数有什么特征，怎么办呢？
3.拨数观察，发现规律
师：以前我们借助过计数器来认识数，今天我们要研究数的倍数特征，同样也可以请出计数器来帮忙。
操作活动：
在计数器上拨出几个3的倍数，再拨出几个不是3的倍数，并数数各用了几颗珠子，记录在下表。
（2）观察3的倍数与所用珠子数，你有什么发现？
（组织学生边操作，边思考，再讨论交流，得出：当一个数是3的倍数时，所用珠子数也是3的倍数，反过来，当所用珠子数是3的倍数，那摆出来的数一定是3的倍数）
师：所用珠子总数是怎么算出来的？（把计数器各个数位上的珠子加起来就是所用珠子总数）
师：不看计数器，你还能算出摆一个数要用多少颗珠子吗？为什么？
（引导学生发现各个位上的珠子与这个数各个位上的数相同，只要把各个位上的数相加，就可以算出所用的珠子总数）
小结：3的倍数与所用的珠子总数有关，也就是与这个数各个位上的数的和有关。
举例验证，总结特征
师：请同桌互相合作，举一个较大点的数，一人算一算它各位上的数的和，另一人算一算这个数是不是3的倍数，看看还有什么发现。
（学生通过举例，验证规律，并归纳出3的倍数的特征）
数形结合，探究原理
师：为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位的数就行，而判断一个数是不是3的倍数，要看各位上的数的各呢？你知道其中的道理吗？下面我们以16、24、135为例来研究。
师：请同学们结合小棒图，2根2根地分、5根5根地分，3根3根地分，看看是什么结果？（引导学生通过以下操作，经历探究的过程，理解其中的原理）
师：通过刚才的操作，我们发现，整十整百甚至整千整万…的数，2个2个地分或5个5个地分，都刚好分完没有剩余，所以我们只要看个位是不是2或5的倍数就可以了。3根3根地分，每个十分完9后余下1，每个百分完99后余下1，每个千分完999后也余下1…也就是有几个十、百、千…就会余下几，9、99、999…都是3的倍数，所以只要看每个数位余下的数合起来是不是3的倍数就可以了。
师：每个数位上余下的数恰恰就跟每个数位上的数一样，原来之前我们总结的3的倍数特征——各位上的数的和是3的倍数，这里各位上的数指的其实是各位上的数除以3后余下来的数。
师：还有一种算式的方法也能解释为什么判断一个数是不是2、5的倍数只要看个位，而判断一个数是不是3的倍数却要看各位上的数的和，请看。（出示下图）
师：请你仔细阅读并联系刚才分小棒的过程，思考并分析其中的原理。
课末总结，拓展延伸
师：这节课我们先通过圈数、拨数的活动发现并总结出3的倍数的特征，再用分小棒、算式的方法探究了2、5、3倍数的特征原理，不仅知道了“是什么”，还知道了“为什么”！课后，同学们还可以继续用刚才学到的方法去探究4、9的倍数，相信你一定会有收获的！
（二）教学反思
纵观整节课，2、5、3的倍数特征与原理的内容整合，实现了对知识横向拓宽，纵向掘深的目的，凸显了知识的本质；百数表与计数器的素材整合，顺应了学生的思维特点，丰富了活动经验；分小棒与算式的方法整合，沟通了学生对所学知识之间的联系，不仅教给学生知识的结论，更教给学生思考的方法。
结语
小学数学教学的整合不只是简单的拼凑与合并，知识的拓展也不是盲目的延伸与拔高。整合与拓展教学内容，要基于学生的学习经验，充分挖掘知识的本质，思考学习新知的价值，灵活地使用教学资源，沟通知识间的内在联系，立足课堂，让学生轻松而深入地学习，经历学习的过程，体会学习的快乐。
参考文献：
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明晰原理[J].小学数学教育，2019.7.
[3]李艳.聚焦本质
深度理解[J].小学数学教育，2018.11.
[4]于江美.回到思维原点
感悟数学本质[J].小学数学教育，2011.11.
[5]张晞.“2、5和3的倍数的特征”内容解读及教学思考[J].小学数学教育，2018.3.
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